Himpunan Semesta Pembicaraan
Kok
ada himpunan semesta pembicaraan sih? Bukannya kita sekarang sedang belajar
Logika Matematika? Mungkin ada diantara kalian bertanya seperti itu. Mungkin
pada materi di sekolah, hal ini kurang mendapat perhatian. Karena ketika kita
sedang membicarakan matematika, maka kita harus menentukan terlebih dahulu
himpunan semestanya, apalagi untuk Logika Matematika. Sebab benar atau salahnya
suatu pernyataaan memang dapat tergantung pada semestanya yang telah
disepakati.
Sebagai
contoh:
"Berapa
x sehingga x + 2 = 12?"
Pasti
kebanyakan kita akan menjawab x = 10.
Yap,
benar. Anda tidak salah. Karena pikiran kita sudah terbentuk bahwa semesta
pembicaraannya adalah semua anggota himpunan bilangan kompleks.
Tapi
lain jawaban jika saya bertanya seperti ini,
"Berapa
x sehingga x + 1 = 12, dengan x adalah anggota bilangan asli kurang dari
5?"
Jika
Anda tahu, silahkan isi jawaban dan alasannya di kolom komentar.
Kalimat = Pernyataan?
Saya
ada membaca tulisan di blog lain yang menulis bahwa kalimat itu sama seperti
pernyataan. Saya ingin menekankan di sini bahwa itu adalah SALAH.
Tidak
semua kalimat merupakan pernyataan, tetapi semua pernyataan merupakan sebuah
kalimat. Suatu kalimat yang mengandung nilai benar ataupun salah, tetapi tidak
kedua-duanya pada saat yang sama disebut kalimat deklaratif (pernyataan).
Kalimat yang tidak dapat dinyatakan sebagai pernyataan dapat berupa kalimat
perintah, pertanyaan, kalimat yang tidak jelas, atau kalimat yang mempunyai
arti ganda (ambigu).
Sebagai
contoh:
- Bilangan 7 adalah bilangan prima.
- Provinsi DKI Jakarta berpenduduk 1 juta jiwa.
- Ambilkan OHP di ruang guru!
- Astaga!
- 2x + 3 > x -1
Dari
contoh di atas, kalimat pertama dan kedua adalah contoh pernyataan, dan kalimat
lainnya merupakan kalimat biasa. Untuk kalimat kelima tidak disebut sebagai
sebuah pernyataan karena belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat
yang masih mengandung variabel bisa disebut sebagai kalimat terbuka (bisa
dimasukkan apa saja). Kalimat tersebut akan menjadi sebuah pernyataan jika kita
telah mengganti nilai x dengan suatu bilangan tertentu. Saya kira sampai disini
Anda sudah paham perbedaan kalimat dan pernyataan.
Operasi pada Logika Matematika
Secara
umum, operasi pada materi Logika matematika ada dua, yaitu operasi uner dan
operasi biner. Sesuai namanya, operasi uner (Monari) adalah operasi yang hanya
berhubungan dengan satu unsur, sedangkan operasi biner (Binari) adalah operasi
yang berhubungan dengan dua unsur. Operasi uner dalam Logika Matematika hanya
ada satu macam, yaitu operasi negasi, dan operasi biner ada empat macam, yaitu
operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi.
Operasi Negasi
Negasi
biasa juga disebut dengan ingkaran. Nilai kebenaran negasi sebuah pernyataan
adalah kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh sebuah pernyataan.
Jika sebuah pernyataan itu bernilai benar, maka negasinya adalah salah, dan
begitu pula sebaliknya. Untuk menyatakan negasi, kita bisa menggunakan kata
"tidak".
Tabel
Nilai Kebanaran Operasi Negasi
Sebagai
contoh:
"Pohon
ini tinggi"
Pohon
ini tinggi bisa disimbolkan dengan p, negasinya bisa disimbolkan dengan
atau
sehingga pernyataan negasinya menjadi,
"Pohon
ini tidak tinggi" atau bisa juga, "Tidak benar bahwa pohon ini
tinggi"
Operasi Konjungsi
Dalam
Logika Matematika, jika dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung
"dan", maka ini disebut sebagai operasi konjungsi. Simbol yang umum
digunakan untuk operasi ini adalah "
"
Tabel
Nilai Kebenaran Operasi Konjungsi
Kesimpulan
: Operasi konjungsi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai
benar.
Sebagai
contoh:
- 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil, bernilai benar
- 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan prima ganjil, bernilai salah
- 2 adalah bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil, bernilai salah
- 2 adalah bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan prima ganjil, bernilai salah
Operasi Disjungsi
Jika
dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "atau", maka ini
disebut sebagai operasi disjungsi. Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini
adalah "
"
Kata
"atau" bisa mempunyai dua arti yang berbeda. Jika pernyataan p v q
mempunyai arti p atau q, tetapi tidak kedua-duanya, seperti ini disebut
disjungsi ekslusif. Sedangkan jika pernyataan p v q mempunyai arti p atau q,
atau kedua-duanya, ini disebut disjungsi inklusif (Kalau saya untuk mempermudah
menghapal ini saya ingat saja kata ekslusif yang sama artinya dengan spesial /
tak ada duanya).
Sebagai
contoh:
- Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di kota Yogyakarta. (disjungsi ekslusif)
- Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di sebuah rumah sakit swasta. (disjungsi inklusif)
Tabel
Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi Ekslusif
Kesimpulan : Operasi disjungsi
ekslusif bernilai benar apabila salah satu pernyataan bernilai benar, tapi
tidak kedua-duanya.
Tabel
Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi Inklusif
Kesimpulan
: Operasi disjungsi inklusif bernilai benar apabila salah satu pernyataan
tersebut bernilai benar.
Catatan
: Operasi disjungsi yang sering digunakan dalam pelajaran Logika Matematika di
sekolah adalah operasi disjungsi inklusif.
Sebagai contoh:
- 2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, bernilai benar
- 2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bukan bilangan prima, tetap bernilai benar
- 2 adalah bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, tetap bernilai benar
- 2 adalah bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, baru bernilai salah
Operasi Implikasi
Jika
dua pernyataan mengandung bentuk "jika ... maka ...", maka ini
disebut sebagai operasi implikasi. Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan
operasi ini adalah "
".
Tabel
Nilai Kebenaran Operasi Implikasi
Kesimpulan
: Operasi implikasi bernilai benar apabila pernyataan kedua bernilai benar,
atau kedua pernyataan tersebut bernilai sama.
Sebagai
contoh:
- Jika air habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
- Jika air habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai salah
- Jika air tidak habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
- Jika air tidak habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai benar
Contoh
di atas saya rasa sudah cukup untuk menjawab pertanyaan "Kenapa jika B
maka S hasilnya S, sedangkan jika S maka B hasilnya B?" Karena belum tentu
penyebab manusia mati hanya karena air habis, kan?
Operasi Biimplikasi
Jika
dua pernyataan mengandung bentuk " ... jika dan hanya jika ...", maka
ini disebut sebagai operasi biimplikasi. Saya lebih suka menyebut hubungan ini
"persyaratan". Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah
"
".
Tabel
Nilai Kebenaran Operasi Biimplikasi
Kesimpulan
: Operasi biimplikasi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai
sama.
Sebagai
contoh:
- Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, bernilai benar
- Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, ya salah kan?
- Jantung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, salah juga kan?
- Jantung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, baru benar
Syarat manusia hidup adalah jantung
berdetak, dan syarat jantung berdetak adalah manusia hidup. Kedua hal tersebut
tidak dapat dipisahkan satu sama lain. Inilah yang saya maksud dengan hubungan
"persyaratan".
Pernyataan Berkuantor
Seperti
yang sudah dibahas, 2x + 3 > x -1 adalah kalimat terbuka (yang mengandung
variabel) dan bukan sebuah pernyataan. Untuk mengganti kalimat terbuka tersebut
menjadi sebuah pernyataan, kita harus mengganti variabel (x) yang ada dengan
suatu nilai. Cara lainnya untuk mengganti kalimat terbuka menjadi sebuah
pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. Kuantor sendiri dibagi menjadi
dua, yaitu kuantor umum (kuantor universal) dan kuantor khusus (kuantor
eksistensial).
Kuantor Umum (Kuantor Universal)
Untuk
menyatakan kuantor universal, kita bisa menggunakan ungkapan "Untuk
setiap" atau "Untuk semua". Simbol yang umum digunakan untuk
menyatakan kuantor umum adalah A terbalik, "
".
Sebagai
contoh:
x
> 0 merupakan kalimat terbuka.
Jika
saya ganti menjadi "Untuk setiap x bilangan asli, berlaku x positif (x
>0)", apakah bisa kita menyatakan salah atau benar? Bisa, bukan?
Jawabannya adalah benar karena 1, 2, 3 dst itu selalu lebih besar dari 0. Dan
jika bisa ada nilai kebenarannya, maka ini disebut sebagai pernyataan. Simbol
matematikanya adalah
Untuk
contoh pernyataan berkuantor universal yang bernilai salah dapat dilihat
apabila saya ganti pernyataannya dengan, "Untuk setiap x bilangan asli, x
> 2". Kenapa salah? Karena 1 adalah bilangan asli, sedangkan 1 tidak
lebih besar daripada 2. Jadi, tidak semua bilangan asli lebih dari 2 dan dapat
disimpulkan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.
Kuantor Khusus (Kuantor
Eksistensial)
Untuk
menyatakan kuantor khusus, kita bisa menggunakan ungkapan "Ada",
"Terdapat", "Paling sedikit satu", atau
"Beberapa". Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan kuantor
khusus adalah E terbalik, "
"
Sebagai
contoh:
x
> 1 merupakan kalimat terbuka
Jika
saya ganti menjadi "Terdapat x bilangan asli sedemikian sehingga x >
1", apakah bisa kita menyatakan salah atau benar? Sekali lagi bisa. Dan
jawabannya benar karena 2 > 1 sedangkan 2 adalah anggota bilangan asli. Jadi
ini bisa disebut sebagai suatu pernyataan. Simbol matematikanya adalah
Untuk
contoh pernyataan berkuantor eksistensial yang bernilai salah dapat dilihat
apabila saya ganti pernyataannya dengan, "Terdapat x bilangan asli
sedemikian rupa sehingga x < 1". Kenapa salah? Karena tidak ada lagi
bilangan asli yang lebih kecil dari 1. Jadi, tidak terdapat bilangan asli yang
kurang dari 1 dan dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.
Negasi Pernyataan Berkuantor
Coba
kita melihat pernyataan ini, "Semua manusia pasti mati". Pernyataaan
ini bernilai benar.
Negasi
dari pernyataan ini adalah "Tidak semua manusia pasti mati", ini sama
artinya dengan "Terdapat manusia yang tidak pasti mati". Dan
pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa negasi yang
telah kita buat sudah benar.
Simbol
Matematis Negasi Kuantor Universal
Sekarang
coba lihat pernyataan ini, "Terdapat tinggi badan manusia yang kurang dari
120 cm". Pernyataan ini bernilai benar.
Negasi
dari pernyataan ini adalah "Tidak terdapat tinggi badan manusia yang
kurang dari 120 cm", ini sama artinya dengan "Semua tinggi badan
manusia lebih dari 120 cm". Dan pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita
dapat menyimpulkan bahwa negasi yang telah kita buat sudah benar.
Simbol
Matematis Negasi Kuantor Eksistensial
Kesimpulan: (1) Negasi universal =
eksistensial; dan (2) Negasi eksistensial = universal
- Hukum komutatif
- p ∧ q ≡ q ∧ p
- p ∨ q ≡ q ∨ p
- Hukum asosiatif
- (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
- (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
- Hukum distributif
- p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
- Hukum identitas
- p ∧ B ≡ p
- p ∨ S ≡ p
- Hukum ikatan
- p ∧ S ≡ S
- p ∨ B ≡ B
- Hukum negasi
- p ∧ ~p ≡ S
- p ∨ ~p ≡ B
- Hukum negasi ganda
- ~(~p) ≡ p
- Hukum idempotent
- p ∧ p ≡ p
- p ∨ p ≡ p
- Hukum De Morgan
- ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
- ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
- Hukum penyerapan
- p ∧ (p ∨ q) ≡ p
- p ∨ (p ∧ q) ≡ p
- Negasi B dan S
- ~B ≡ S
- ~S ≡ B
0 comments:
Post a Comment